게이지장이란

대역 대칭과 국소 대칭

 

임의의 물리적 상황의 수학적 기술은 통상, 과도 한자 유도를 갖고 있다. 동일한 물리 상황은 많은 동치인 수학적인 구성에 따른 잘 기술된다. 예를 들어 뉴턴 역학 그럼 2개의 구성이 서로 갈릴레이 변환(좌표계의 관성 변환)으로 동일한 물리적 상황을 나타내고 있다. 이들의 변환은 이론 의대칭이 군를 형성하고 물리적 상황은 개별 수학적 구성에 대응하는 것이 아니라 이 대칭 군으로 서로 관련된 구성의 클래스에 대응한다.

이 생각을 포괄적인 대칭성과 마찬가지로 국소 대칭으로 일반화할 수 있다. 이 것은 전 물리계를 커버하는 "관성"좌표계를 지원할 없는 상황에서 보다 추상적인 "좌표 변환"인 것과 비슷하다. 게이지 이론은 이 종류의 대칭성을 갖는 수학적 모델로 모델의 대칭성과 정합성을 가진 물리적인 예언을 이룰 수 있는 일련의 기술을 동반하고 있다.

- 파이버 번들을 사용한 국소적 대칭의 기술
- 게이지 이론은 파이버 번들에서 기술할 수 있다.

더 복잡한 이론 중 물리적 상황을 충분히 기술하기 때문에 시공 속에서 점에 라벨 부착을 주는 좌표와 단순한 관계를 가지지 않는 대상에 대해서"좌표 기저"를 도입할 필요가 있다.(수학 용어에서는 점에서 대상 값을 기술할 때 쓰는 좌표 기저의 기반 공간과 그 각각의 점에서 섬유를 생각한 섬유 번들을 의미한다.) 수학적 구성으로 만들기 위해서는 각각의 점에서(섬유 번들의 국소 절단 비단 좌표 기저를 선택하고 이론의 대상 값을 좌표를 쓰는 표현하지 않으면 안 된다(통상은 물리적 의미에서는 장론). 파이버 번들의 장의 이론이라는 2개의 구성은 그것들의 좌표 변환(국소 절단의 변환, 게이지 변환)으로 관계하는 때 등가이다( 같은 물리 상태를 기술하다고 한다.

대부분의 게이지 이론에서는 시공의 점의 추상적 게이지 기저의 가능한 변환은 유한 차원 의리 군이다. 가장 단순한 그런 군은 U(1)이다 현대의 정식화에서는 복소수를 사용한 양자 전기 역학(QED)이다. QED는 일반에 최초의 가장 단순한 물리적 게이지 이론으로 생각된다. 게이지 이론이 주어졌을 때 전체 구성 안에서 취할 수 있는 게이지 변환의 집합은 게이지 군를 형성한다. 게이지 군의 전은 시공의 점에서(유한 차원의)리 군에 대한 매끈한 함수에 의한 파라 메토 라이즈 되고 각각의 점에서의 함수와 미분 값은 각각의 점 위의 섬유에서 게이지 변환 작용을 나타낸다.

시공의 각 점에서 정수인 게이지 변환은 기하학적인 좌표계의 강성한 회전과 비슷하다. 이 상수 게이지 변환은 게이지 표현 의대 역 대칭을 나타낸다. 강성한 회전의 경우처럼 이 게이지 변환은 진정으로 국소적인 양을 표현하는 방법과 같은 방법으로 게이지 독립적인 양을 경로에 따라서 변경하는 비율을 표현하는 것에 미치는 영향. 파라미터가 상수 함수가 아닌 게이지 변환은 국소 대칭로 불린다. 미분을 의미하는 효과와 하지 않는 효과와는 양적인 차이가 있다.(이 것은 코리올리의 힘으로 나타낼 수 있는 좌표의 비 타성적인 변환의 유사물이다.

'

게이지 장

 

게이지 이론의 "게이지 모두 이상한다"버전은 게이지 장을 도입하기(수학의 말로는, 에어 레스만 접속(영어판))와 이 접속의 관점에서 공변 미분항에서 모든 변환의 정도를 정식화함으로써 이 효과를 고려하고 있다. 게이지 장은 수학적 구성의 기술의 본질적인 부분이다. 게이지 변환에 의한 게이지 장을 제거 가능한 구성 은장의 세기(영어판)(수학의 말로는, 곡률)이 어디서나 0이 되는 성질을 가지고 있다. 게이지 장은 이들의 구성에 한정되는 것은 아니다. 바꾸어 말하면 게이지 이론의 두드러진 특성은 게이지 장이 그저 단순한 좌표계의 선택을 보상하고 있을 뿐이 아니라는 특성이며, 일반적으로는 게이지 장을 0으로 하는 게이지 변환은 존재하지 않는다.

게이지 이론의 역학 해석을 때 물리적 상황의 기술에서 다른 대상과 마찬가지로 게이지 장은 역학 변수로 취급하지 않으면 안 된다. 공변 미분을 통해서 다른 대상과의 기본 상호 작용에다 전형적으로 게이지 장은 "자기 에너지"항의 형태로 에너지에 기여한다. 게이지 이론의 방정식은 다음과 같이 해서 얻을 수 있다.

- 게이지 장이 없다는 순진한 가설(ansatz) 더 출발한다(거기에서는 미분이 "알몸의 형태"에서 나타나는).
- 연속 파라미터에 의한 특징지어지는 이론의 대역 대칭성을 나열한다(일반적으로는 회전각과 동치이다).
- 장소로 변환할 수 대칭 파라미터에서 오는 결과 보정 항목을 계산한다.
- 이들의 보정 항목을 하나 혹은 그 이상의 게이지 장의 결합으로 해석하고 이들의 장 적절한 자기 에너지항과 역학적인 행동을 준다.

 

이 것은 게이지 이론이 포괄적 대칭성을 국소 대칭으로 "확장"을 의미하며 일반 상대로로 알려진 중력의 게이지 이론의 역사적 발전과 밀접하게 관련한다.

물리 실험

 

게이지 이론은 본질적으로는 다음과 같이 물리 실험의 결과를 모델화하는 데 쓰인다.

자연계의 가능한 구성을 실험에서 설정하는 정보와 정합성을 가진 구성으로 제한한다.
실험에서 설계된 가능한 출력의 확률 분포를 계산하는 것은 측정하는 것을 설계하는 것이다.
"설정 정보"와 "확률 측도의 출력"을 수학적으로 기술하는 것(대충은 실험"경계 조건")은 일반에는 게이지의 선택을 의미하는 특수한 좌표계를 사용하는 것 없이 나타낼 수 없다( 그렇지 않으면 게이지 독립적인 상태를 뜻한다"밖"의 영향에서 충분히 고립된 실험을 전제로 한다). 경계 조건으로 게이지 독립성을 잘못 잡으면 게이지 이론의 계산으로 아노 마리는 자주 발생하므로, 게이지 이론은 아노 마리를 회피하는 접근법으로 널리 분류할 수 있다.

연속체 이론

 

상기의 2개의 이론(연속 전자기학과 일반 상대론)은 연속체 이론의 예이다. 연속체 이론 계산 기술을 암시적으로 전제로 하고 있다.

- 완전히 게이지의 선택을 고정하면 개별 구성 경계 조건은 원리적으로는 완전히 기술할 수 있다.
- 완전히 게이지를 고정하는 일련의 경계 조건이 부여된다고 최소 작용의 원리는 이들의 경계와 정합성을 가진 유일한 수학적 구성( 따르고 정해진 물리적 상황)을 결정한다.
- 측정 결과의 가능성은 다음과 같이 결정할 수 있다.
- 모든 물리적 상황의 확률 분포의 확립은 설정 정보와 정합성을 가진 경계 조건에 의하여 결정된다.
- 가능한 물리 상황에서 각각의 출력 측정의 확률 분포의 확립.
- 설정 정보와 정합성을 가진 출력 확률 분포를 얻기 위한 이들 2개의 확률 분포의 상승.
- 게이지 고정하면 경계 조건의 부분적 정보 기술의 게이지 의존성 또는 이론의 불완전성 중 하나를 위한 아노 마리를 계산에서 배제할 수 있다.

 

이러한 전제는 충분히 잠긴 형태를 지니고 있으므로 에너지 스케일과 실험 조건의 넓은 범위를 건너고 효과적이며, 빛과 열, 전기에서 일식, 우주여행이라고 한 것까지 일상생활 속에서 마주친 현상의 대부분에 대해서 이론은 정확히 예언할 수 있다. 수학적 기술 자체가 깨질 때이다(이론 자신 속의 생략으로) 가장 작은 스케일과 가장 큰 스케일 때에만 이론이 잘 안 된다(가장 유명한 경우는 난류라고 다른 카오스적인 현상).

양자장론

 

이들의 "고전적"연속체 이론 외에 가장 널리 알려진 이론 이양자 전자기학이나 소립자 물리학의 표준 모형 포함 양자장론이다. 양자장론의 출발점은 연속으로 유사하며 논란에 아주 좋아 비슷하다. 게이지 모두 이상한 작용 적분은 최소 작용의 원리에 따른다"가능한 "물리적 상황을 특징짓다. 그러나 연속체의 이론과 양자장론은 게이지 변환으로 나타내는 큰 자유도를 어떻게 다루느냐는 것의 중요한 차이가 있다. 연속체 이론과 교육적으로 다뤄진 가장 단순한 양자장론은 게이지 고정(영어판)(gauge fixing)의 처방을 쓰고 주어진 물리적 상황을 나타내는 수학적 구성의 궤도를 더 작은 군이 나타내는 작은 궤도로 환원한다. 이 작은 군은 대역 대칭 군이거나 자명한 군인 있다.

보다 복잡한 양자장론은 특히 비 아벨적인 게이지 군을 갖고 있는 경우는 섭동론 한도 내에서 장(화 데에 후·포포프 고스트 장로 BRST양자화(영어판)(BRST quantization)으로 알려진 어프로치의 아노 마리 취소(영어판)(anomaly cancellation)에 동기가 반대 조항을 도입하는 게이지 대칭성을 깨다. 이들 문제는 어떤 의미 매우 테크니컬 한 것이지만, 문제는 관측의 성질, 물리적 상황을 알 것의 한계, 불완전한 특별한 실험 조건과 불완전하게밖에 이해되지 않은 물리 이론 사이의 상호 작용과 같은 것과 밀접히 관련되어 있다 [요 출처. 게이지 이론을 다루게 하기 위해서 개발된 수학적 기술은 고체 물리학과 결정학부터 저 차원 토폴로지까지 많은 응용을 갖고 있다.