카오스 이론의 연구사례

연구사

 

카오스 명명 이전

카오스 이론 탄생 이전에도 카오스의 성질의 1개인 초기치 예민성의 존재에 대해서 이미 지적됐다. 제임스 클라크 맥스웰 그러나 1877년 저서"물질과 운동"의 첫머리 중, 『" 같은 원인은 늘 같은 결과를 낳는다"라는 흔히 인용되는 원칙이 있다. 또 하나의 원칙으로 " 비슷한 원인은 비슷한 결과를 낳는다"라는 것이 있다. 많은 물리 현상은 이를 만족시키는 상태에 있지만 작은 초기 상태의 차이가 시스템의 최종 상태에 매우 큰 변화를 가져오는 경우도 있다』라고 말했다. 또 맥스웰은 이어 주기 속에서 『기상현상은 국소적인 불안정성의 무한한 모임에 기인되는 현상일지도 모르고 1개의 유한한 법칙 체계에 전혀 따르지 않는 현상일 수 있다』라고 했고 나중에 로렌츠가 지적하는 듯한 기상 현상의 불안정성을 지적하고 있다.

19세기에서의 일반적인 비선형 미분 방정식 해법 기법은 윌리엄 로완 해밀턴 등의 성과로 대표되는 적분 법(적분, 대수 변환의 유한 회의 조합)에 의해 구해와 미소한 차이를 보정하다 섭동 법이다. 이 적분 법에 의한 해답을 얻을 수 있는 계를 조제프 리우빌하가 적분계라고 불렀다. 그 조건은 저장량의 수가 방정식의 수(자유)와 일치하는 것이었다.

카오스 이론의 시초라 불리는 계통적 연구의 최초의 것으로는 앙리 푸앵카레에 따른 일이 꼽힌다. 1880년대, 푸앵카레는 삼체문제 연구에서 비주기적으로 증가하지 않거나 고정점에 도달하지 않는 궤도가 있음을 발견했다. 1892년부터 1899년, 푸앵카레는 삼체문제가 저장량이 부족한 적분 법에 의한 해석 해답을 얻을 수 없음을 증명했다(이런 계통을 비 가 적분계라고 부른다). 그는 이 경우 궤도가 복잡하게 될 것임을 시사하고 있다. 다만 이 시점에서는 그 실체는 인식되지 않았다.

실재의 계통에서 카오스 운동을 관찰했다고 생각되는 예로는 1927년 후안 델 폴(en:Balthasar van der Pol)과 팬들 델 마크로 실험 보고가 꼽힌다. 그들은 1927년 논문에서 비선형 전기 회로의 실험에서의 주파수 비 증가(Frequency demultiplication)이라고 부르는 현상을 보고했다. 이것은 그들이 구성한 비선형 전기 회로에서 콘덴서 용량 C를 파라미터적으로 증가시키면, 회로 발진 주파수ω가ω/2,ω/3,ω/4,... 하는 식으로 비연속적으로 변하는 현상이다. 특히 팬 델 폴들은 이런 발진 주파수의 비연속적인 전이 앞에 불규칙한 잡음(irregular noise)이 발생하는 것을 보고하고 있다. 코무로 전직 정관 군 고위들은 실재의 계통에 의한 카오스 현상의 보고는 이 실험이 처음일 것으로 추측하고 있다. 그러나 후안 델 폴들은 이 현상을 부차적인 현상(subsidiary phenomenon)으로 간주하고 그 이상의 연구는 계속하지 않았다.

1940년대 안드레이 콜모고로후, V.B. 칠레 코프 등으로 이해 밀턴 역학계(예를 들어 다체 문제 같은 산일항이 없는 에너지가 저장된다)계의 카오스 연구가 진행됐다. 대자 유도 해밀 토니 안계 카오스는 통계 역학의 근원에 연결되기도 했지만, 그 정의조차 곤란한 향후의 연구가 기대된다.

카오스 명명과 연구의 융성

1961년 에드워드 로렌츠로 간단한 미분 방정식에서 만들어지는 일기 예보의 기상 모델의 수치 계산 결과가 카오스적인 행동을 하는 것이 발견됐다. 1963년, 이 결과는 텐트 사상으로 일어나는 카오스로 발표된다. 이 타입의 카오스는 로렌츠 카오스(후술 하는 카오스의 예)로 불리며 로렌츠·아토 락 타를 갖는 것으로도 유명하다. 그러나 이 로렌츠의 논문은 당시 거의 주목을 끌지 않고 묻혔다.

또 교토 대학 공학부 우에다 환량는 1961년에 이미 비선형 상미분 방정식을 해석하는 전기 회로에서 발생한 카오스를 물리 현상으로 관측하고 불규칙 전이 현상이라고 칭하고 카오스의 기본적 성질을 밝혔다. 그러나 일본 학회에서는 그 중요성이 인식되지 않고 오래 간일의 눈을 보지 않았다. 이 우에다가 발견한 스트레인지·아토 락 타는 나중의 1980년 프랑스의 수학자 다비드 류 엘 니요리 재퍼 니스 아토 락 타라고 명명되어 일본 해외에서도 알려지게 된다.

이들의 복잡한 궤도의 개념은 1975년제 임스 A 뉴욕의 리티엔 이엔에 의한 카오스라고 불리게 되었다. 또 만델 브로 집합에서 유명한 보노와 만델 브로트 등에 의한 연구가 진행되다.

한편으로는 비선형 방정식 중에는 솔리톤(천해파의 모델)처럼 무한의 저장량을 가지고 있고 안정된 파형을 유지하는 미래 예측이 가능한 해석적 행태가 드러난 것도 있고 카오스와 대척점에 있는 존재이다. 그러나 솔리 톤라고 해도 연속 무한 자유도를 다루는 같은 특수한 경우 가 적분계가 찢어질 수 있고 그 경우 카오스가 되는 것이 지적됐다.

카오스의 판정

카오스에는 그 필요충분조건이 주어지지 않은 것에서 카오스의 판정은 복수의 정의를 공통으로 카오스 성이 있다는 판정 이외에 방법이 없다. 이 때문에, 카오스의 판정과는 필요조건이라는 성질을 갖는다. 대부분은 스펙트럼의 연속성, 스트레인지 아토 락타, 리아프노후 지수, 분기 등으로 카오스로 판정했다.

그러나 그냥 랜덤 노이즈라도 리아프노후 지수가 플러스가 된다는 사례가 지적되고 이러한 면보다 노이즈라고 카오스는 구별을 하지 않는다. 그 때문에, 예를 들면 리아프노후 지수와, 무엇을 가지고 스트레인지 아토 락 타라고 볼 것인가의 지표를 그대로 믿고 카오스와 판정해도 되느냐는 문제가 일어난다.

1992년 노이 즐 지 결정론적 시스템에서 작성된 데이터인 지검 정한다"서로 게이트 법"이 제안되었다. 서로 게이트 법은 기본적으로는 통계학의 가설 검정에 따른 수법이어서 주어진 데이터가 검정에 통과했을 경우에서도 그 데이터에 대해서"가정한 노이즈라고는 말하기 어렵다"라는 주장은 가능하지만, "카오스이다"는 단정을 할 수 없으며, 그런 의미에서 결정적인 검정 방법이 아니다. 이하 사로 게이트 법의 개요에 대해서 설명한다.

서로 게이트 법

서로 게이트 법에는 다양한 방법이 있다. 대표적인 "푸리에 변환형 사로 게이트 법"에 대해서 말했다.

귀무가설:전 때 계열은(미리 가정하는) 소음이다

유의 수준을 α로

전 시 계열 파워 스펙트럼을 계산

파워 스펙트럼을 전 시 계열로 위상을 랜덤으로 설정한 새 스펙트럼을 N개 작성

새 스펙트럼을 푸리에 역변환하고 새 시계열을 N개 작성(이들을 서로 게이트 데이터라고 부른다)

원래의 시계열 통계치 <N개의 새 시계열의 통계치 아래 α/2를 주는 값 또는 N개의 새 시계열의 통계치의 위 α/2를 주는

값 <전 시계열 통계치 → 돌아간 가설 기각(노이즈가 아니다)